Difference Between Modified Gram-Schmidt Orthogonalization and Householder Transformations on Hilbert Matrices

 Hilbert           4 x           4
 QTQ Mod_GS - QTQ Householder
   4.4408920985006262E-016   4.3021142204224816E-016  -6.7168492989821971E-015   2.8534119511647305E-013 /
   4.3021142204224816E-016   0.0000000000000000        2.6645352591003757E-015  -2.1260770921571748E-014 /
  -6.7168492989821971E-015   2.6645352591003757E-015   4.4408920985006262E-016  -1.0214051826551440E-014 /
   2.8534119511647305E-013  -2.1260770921571748E-014  -1.0214051826551440E-014   0.0000000000000000      /
 Hilbert           6 x           6
 QTQ Mod_GS - QTQ Householder
  -3.3306690738754696E-016  -6.2450045135165055E-017   6.4254157550180935E-015  -2.4751034555237084E-013   5.0546650198768361E-012   1.7792459866550203E-010 /
  -6.2450045135165055E-017   2.2204460492503131E-016  -5.0515147620444623E-015   1.2626011347549593E-013  -3.4312552799065088E-012   7.3060016370085634E-011 /
   6.4254157550180935E-015  -5.0515147620444623E-015   1.1102230246251565E-016  -1.7763568394002505E-015   1.3811174426336947E-013  -7.4682759976241186E-012 /
  -2.4751034555237084E-013   1.2626011347549593E-013  -1.7763568394002505E-015   0.0000000000000000        5.9396931817445875E-015  -2.9307112292542570E-013 /
   5.0546650198768361E-012  -3.4312552799065088E-012   1.3811174426336947E-013   5.9396931817445875E-015  -2.2204460492503131E-016   1.1657341758564144E-014 /
   1.7792459866550203E-010   7.3060016370085634E-011  -7.4682759976241186E-012  -2.9307112292542570E-013   1.1657341758564144E-014  -2.2204460492503131E-016 /
 Hilbert           8 x           8
 QTQ Mod_GS - QTQ Householder
   2.2204460492503131E-016  -8.3266726846886741E-016   6.4739880123454441E-015  -1.2858464293330485E-013   3.2134225835811492E-012  -1.1541777256152130E-010   5.9409563067658322E-009  -4.4227286847935143E-007 /
  -8.3266726846886741E-016   3.3306690738754696E-016   4.2604808569990382E-015  -3.2696068075210860E-014  -2.8554936193359026E-013   3.8266528834540736E-011  -3.1151283358399340E-009   2.7014929235291696E-007 /
   6.4739880123454441E-015   4.2604808569990382E-015  -1.1102230246251565E-016   1.9428902930940239E-015   2.1843638009499955E-014  -4.3889336609481688E-012   3.2817372430660186E-010  -2.4049438239470700E-008 /
  -1.2858464293330485E-013  -3.2696068075210860E-014   1.9428902930940239E-015   2.2204460492503131E-016  -2.0816681711721685E-015   2.0486390361895701E-013  -2.8705593457800660E-011   3.5270905640594208E-009 /
   3.2134225835811492E-012  -2.8554936193359026E-013   2.1843638009499955E-014  -2.0816681711721685E-015  -1.1102230246251565E-016   2.2870594307278225E-014  -1.0970113706321172E-012   4.9967127657701838E-011 /
  -1.1541777256152130E-010   3.8266528834540736E-011  -4.3889336609481688E-012   2.0486390361895701E-013   2.2870594307278225E-014  -2.2204460492503131E-016  -8.1878948066105295E-015  -7.8020923055532876E-014 /
   5.9409563067658322E-009  -3.1151283358399340E-009   3.2817372430660186E-010  -2.8705593457800660E-011  -1.0970113706321172E-012  -8.1878948066105295E-015   2.2204460492503131E-016   8.7568841067309222E-015 /
  -4.4227286847935143E-007   2.7014929235291696E-007  -2.4049438239470700E-008   3.5270905640594208E-009   4.9967127657701838E-011  -7.8020923055532876E-014   8.7568841067309222E-015   0.0000000000000000      /
 Hilbert          10 x          10
 QTQ Mod_GS - QTQ Householder
   4.4408920985006262E-016   1.1587952819525071E-015  -1.7444379274422772E-014   2.1046359099941014E-013  -2.8201121993198797E-012   4.4265272003407574E-011  -3.4103577253863371E-010  -1.2622750414359452E-008   3.7558946765041401E-007   3.2226995170671346E-005 /
   1.1587952819525071E-015   0.0000000000000000       -1.5820678100908481E-015   6.2103100439969694E-014  -2.3965412987436707E-012   8.3389406491107820E-011  -2.6434169297928634E-009   8.3611728943222552E-008  -3.1031045670468216E-006   1.7721084066145074E-004 /
  -1.7444379274422772E-014  -1.5820678100908481E-015   2.2204460492503131E-016   2.7755575615628914E-015  -1.3627987627273797E-014  -3.5120517605236046E-012   2.4640915696760857E-010  -1.1032657662446432E-008   3.7138633046662761E-007  -1.6478478071096925E-006 /
   2.1046359099941014E-013   6.2103100439969694E-014   2.7755575615628914E-015   2.2204460492503131E-016  -2.5812685322534890E-015  -3.4139358007223564E-015   1.3454043434890650E-011  -1.3502456375213967E-009   1.0174849000843533E-007  -7.8544622167456279E-006 /
  -2.8201121993198797E-012  -2.3965412987436707E-012  -1.3627987627273797E-014  -2.5812685322534890E-015   6.6613381477509392E-016  -8.4932061383824475E-015   7.7687856148145329E-013  -4.5998621578391408E-011   3.3630914719751104E-009  -4.0872885840453899E-007 /
   4.4265272003407574E-011   8.3389406491107820E-011  -3.5120517605236046E-012  -3.4139358007223564E-015  -8.4932061383824475E-015   3.3306690738754696E-016   5.8841820305133297E-015  -1.0035305919586790E-012   8.6072801663839016E-011  -8.4661405316821536E-009 /
  -3.4103577253863371E-010  -2.6434169297928634E-009   2.4640915696760857E-010   1.3454043434890650E-011   7.7687856148145329E-013   5.8841820305133297E-015  -4.4408920985006262E-016  -8.0213613529167560E-015  -4.1869285816176216E-014   7.9973846989211950E-011 /
  -1.2622750414359452E-008   8.3611728943222552E-008  -1.1032657662446432E-008  -1.3502456375213967E-009  -4.5998621578391408E-011  -1.0035305919586790E-012  -8.0213613529167560E-015   0.0000000000000000        1.0484668688803822E-014   2.4530759368257549E-012 /
   3.7558946765041401E-007  -3.1031045670468216E-006   3.7138633046662761E-007   1.0174849000843533E-007   3.3630914719751104E-009   8.6072801663839016E-011  -4.1869285816176216E-014   1.0484668688803822E-014   5.5511151231257827E-016  -2.6716476253518806E-014 /
   3.2226995170671346E-005   1.7721084066145074E-004  -1.6478478071096925E-006  -7.8544622167456279E-006  -4.0872885840453899E-007  -8.4661405316821536E-009   7.9973846989211950E-011   2.4530759368257549E-012  -2.6716476253518806E-014   4.4408920985006262E-016 /